Question

選修4-2：矩陣與變換
設矩陣M=

1 a b 1

．
（I）若a=2，b=3，求矩陣M的逆矩陣M^-1；
（Ⅱ）若曲線C：x²+4xy+2y²=1在矩陣M的作用下變換成曲線C'：x²-2y²=1，求a+b的值．

Answer 1

（I）若a=2，b=3，則M=

1 2 3 1

，∴|M|=

.

1 2 3 1

.

=-5
故所求的逆矩陣M^-1=

- 1 5 2 5 3 5 - 1 5

．…（4分）
（II）設曲線C上任意一點P（x，y），它在矩陣M所對應的線性變換作用下得到點P'（x'，y'），
則

1 a b 1

x y

=

x′ y′

，
即

x+ay=x′ bx+y=y′

，…（5分）
又點P'（x'，y'）在曲線C'上，所以x^'2-2y^'2=1，則（x+ay）²-2（bx+y）²=1，
即（1-2b²）x²+（2a-4b）xy+（a²-2）y²=1為曲線C的方程，
又已知曲線C的方程為x²+4xy+2y²=1，
比較系數可得

1-2b2=1 2a-4b=4 a2-2=2

，解得b=0，a=2，
∴a+b=2．…（7分）