Question

（2010•天津模擬）設O為坐標原點，點P的坐標（x-2，x-y）
（I）在一個盒子中，放有標號為1，2，3的三張卡片，現從此盒中有放回地先后抽到兩張卡片的標號分別記為x，y，求|OP|的最大值，并求事件“|OP|取到最大值”的概率；
（II）若利用計算機隨機在[0，3]上先后取兩個數分別記為x，y，求P點在第一象限的概率．

Answer 1

分析：（1）記先后抽到的兩張卡片的標號為（x，y），列出所有情形，然后分別求出|OP|的值，從而得到最大值；
（2）求出點P落在第一象限所構成區域的面積，然后求出基本事件空間所表示的區域的面積，計算出二者的比值即可．

解答：解：（I）記抽到的卡片標號為（x，y），所有的情況分別為，

（x，y）	（1，1）	（1，2）	（1，3）	（2，1）	（2，2）	（2，3）	（3，1）	（3，2）	（3，3）
P（x-2，x-y）	（-1，0）	（-1，-1）	（-1，-2）	（0，1）	（0，0）	（0，-1）	（1，2）	（1，1）	（1，0）
|OP|	1	2	5	1	0	1	5	2	1

共9種．由表格可知|OP|的最大值為

5

…（5分）
設事件A為“|OP|取到最大值”，則滿足事件A的（x，y）有（1，3），（3，1）兩種情況，
∴P(A)=

2

9

…（7分）
（II）設事件B為“P點在第一象限”
若

0≤x≤3 0≤y≤3

，則其所表示的區域面積為3×3=9
由題意可得事件B滿足

0≤x≤3 0≤y≤3 x-2＞0 x-y＞0

，
即如圖所示的陰影部分，
其區域面積為1×3-

1

2

×1×1=

5

2

∴P(B)=

5 2

9

=

5

18

…（12分）

點評：本題考查幾何概率的求法：首先根據題意將代數關系用面積表示出來，一般用陰影區域表示所求事件（A）；然后計算陰影區域的面積在總面積中占的比例，這個比例即事件（A）發生的概率．