Question

若，其中.
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；
（2）當(dāng)時(shí)，若恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

（1）；（2）.

解析試題分析：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，最值和不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查函數(shù)思想，分類(lèi)討論思想，考查綜合分析和解決問(wèn)題的能力.第一問(wèn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)解析式確定，并不是分段函數(shù)，這就降低了試題的難度，求導(dǎo)數(shù)，判斷所求區(qū)間上函數(shù)的單調(diào)性，再求最值，第一問(wèn)較簡(jiǎn)單；第二問(wèn)，由于函數(shù)是分段函數(shù)，所以根據(jù)函數(shù)定義域把所求區(qū)間從斷開(kāi)，充分考查了分類(lèi)討論思想，求出每段范圍內(nèi)函數(shù)的最小值來(lái)解決恒成立問(wèn)題.
試題解析：（1）當(dāng)，時(shí)，，
∵，∴當(dāng)時(shí), ,
∴函數(shù)在上單調(diào)遞增,
故.(4分)
（2）①當(dāng)時(shí)，，，
∵，∴，∴在上為增函數(shù)，
故當(dāng)時(shí)，；
②當(dāng)時(shí)，，，
（ⅰ）當(dāng)即時(shí)，在區(qū)間上為增函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，且此時(shí)；
（ⅱ）當(dāng)，即時(shí)，在區(qū)間上為減函數(shù)，在區(qū)間上為增函數(shù)，
故當(dāng)時(shí)，，且此時(shí)；
（ⅲ）當(dāng)，即時(shí)，在區(qū)間上為減函數(shù)，
故當(dāng)時(shí)，.
綜上所述，函數(shù)在上的最小值為
由，得；由，得無(wú)解；，得無(wú)解；
故所求的取值范圍是.（12分）
考點(diǎn)：1.用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值；2.恒成立問(wèn)題；3.用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性.