Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，點E在棱CC₁上，點F是棱C₁D₁的中點
（1）若AF∥平面BDE，求CE的長；
（2）若平面BDE⊥平面A₁BD，求三棱錐F-ABE的體積．

Answer 1

分析：（1）連接AC交BD于O，連接CF交DE于P，連接PO，由AF∥平面BDE，知AF∥PO，由O為AC中點，知P為CF中點，由此能求出CE的長．
（2）由平面BDE⊥平面A₁BD且EO⊥BD，知EO⊥平面A₁BD，由AC₁⊥平面A₁BD，知EO∥AC₁，因此E為CC₁的中點，由此能求出三棱錐F-ABE的體積．

解答：解：（1）連接AC交BD于O，連接CF交DE于P，連接PO，
∵AF∥平面BDE，∴AF∥PO，
又∵O為AC中點，∴P為CF中點，（2分）
在正方形CD₁C₁C中，延長DE交D₁C₁的延長線于點Q，
由平面幾何知識得

C1E

C1B

=

1

3

，
所以CE=

2

3

．（5分）
（2）∵平面BDE⊥平面A₁BD且EO⊥BD，
∴EO⊥平面A₁BD，（7分）
又∵AC₁⊥平面A₁BD，∴EO∥AC₁，
因此E為CC₁的中點，（9分）
∵B₁C⊥平面ABF，∴E到平面ABF 的距離為

2

2

，
又∵S△ABF=2

2

，
∴三棱錐F-ABE的體積VF-ABE=VE-ABF=

1

3

S△ABF•

2

2

=

2

3

．（12分）

點評：本題考查線段長的求法，考查三棱錐的體積的求法，解題時要認真審題，合理地化空間問題為平面問題，注意等積法的合理運用．