在數列
中，
，且
.
(Ⅰ) 求
，猜想
的表達式，并加以證明；
(Ⅱ)設
，求證：對任意的自然數
都有
.
(Ⅰ) 
(Ⅱ) 
所以
所以只需要證明 
（顯然成立）
所以對任意的自然數
，都有
【解析】
試題分析：（1）容易求得：
， （1分）
故可以猜想， 下面利用數學歸納法加以證明：
顯然當
時，結論成立， 2分）
假設當
；
時（也可以
），結論也成立，即
，
（3分）
那么當
時，由題設與歸納假設可知：
（5分）
即當時，結論也成立，綜上，對
,
成立。
（2）
所以
所以只需要證明
（顯然成立）
所以對任意的自然數，都有-------（12分）
考點：數列通項公式的證明及數列求和
點評：本題應用數學歸納法證明通項公式，數學歸納法用來證明與正整數有關的命題，第一步先證明n取最小值時成立，第二步假設
時命題成立，借此來證明
時命題成立，綜上一二兩步可得命題成立
科目：高中數學 來源：2015屆海南瓊海嘉積中學高一下學期教學監測（二）理數學卷（解析版） 題型：解答題
在數列
中，
，且滿足
.
（Ⅰ）求
及數列的通項公式；
（Ⅱ）設
求數列
的前
項和
.
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科目：高中數學 來源：2010-2011學年甘肅省高三上學期第三次月考數學文卷 題型：解答題
（12分）在數列
中，
，且對任意
都有
成立，令
（1）求數列
的通項公式；（2）求數列
的前n項和
。
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科目：高中數學 來源：2010年高考試題（天津卷）解析版（理） 題型：解答題
在數列
中，
，且對任意
.
，
，
成等差數列，其公差為
。
（Ⅰ）若=
，證明，，
成等比數列（）
（Ⅱ）若對任意，，，成等比數列，其公比為
。
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中，
，且當
時有
，則數列
中，
，且對于任意正整數n，都有
，則
＝ 。