Question

因發生意外交通事故，一輛貨車上的某種液體泄漏到一漁塘中．為了治污，根據環保部門的建議，現決定在漁塘中投放一種可與污染液體發生化學反應的藥劑．已知每投放a（1≤a≤4，且a∈R）個單位的藥劑，它在水中釋放的濃度y（克/升）隨著時間x（天）變化的函數關系式近似為y=a•f（x），其中f(x)=

16 8-x -1，(0≤x≤4) 5- 1 2 x，(4＜x≤10)

．
若多次投放，則某一時刻水中的藥劑濃度為每次投放的藥劑在相應時刻所釋放的濃度之和．根據經驗，
當水中藥劑的濃度不低于4（克/升）時，它才能起到有效治污的作用．
（Ⅰ）若一次投放4個單位的藥劑，則有效治污時間可達幾天？
（Ⅱ）若第一次投放2個單位的藥劑，6天后再投放a個單位的藥劑，要使接下來的4天中能夠持續有效治污，試求a的最小值（精確到0.1，參考數據：

2

取1.4）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由a=4，得y=a•f（x），即y=

64 8-x -4(0≤x≤4) 20-2x(4＜x≤10)

；令y≥4，解得x的取值范圍．
（Ⅱ）要使接下來的4天中能夠持續有效治污，即當6≤x≤10時，y=2×(5-

1

2

x)+a(

16

8-(x-6)

-1)≥4恒成立，求y的最小值，令其≥4，解出a的最小值．

解答：解：（Ⅰ）因為a=4，所以y=

64 8-x -4(0≤x≤4) 20-2x(4＜x≤10)

；
則當0≤x≤4時，由

64

8-x

-4≥4，解得x≥0，所以此時0≤x≤4，
當4＜x≤10時，由20-2x≥4，解得x≤8，所以此時4＜x≤8；
綜合，得0≤x≤8，若一次投放4個單位的制劑，則有效治污時間可達8天．
（Ⅱ）當6≤x≤10時，y=2×(5-

1

2

x)+a(

16

8-(x-6)

-1)=10-x+

16a

14-x

-a=(14-x)+

16a

14-x

-a-4，
因為，14-x∈[4，8]，而1≤a≤4，
所以，4

a

∈[4，8]，由基本不等式得，當且僅當14-x=4

a

時，y有最小值為8

a

-a-4；
令8

a

-a-4≥4，解得24-16

2

≤a≤4，所以a的最小值為24-16

2

≈1.6．

點評：本題考查了分段函數模型的應用以及基本不等式的應用問題，解題時應分區間考慮函數的解析式，是易錯題．