Question

設0＜a＜1，，
（Ⅰ）求f（x）的表達式，并指出其奇偶性、單調性（不必寫出證明過程）；
（Ⅱ）解關于x的不等式：f（a^x）+f（-2）＞f（2）+f（-a^x）
（Ⅲ）（理）當n∈N時，比較f（n）與n的大小．
（文）若f（x）-4的值僅在x＜2時取負數，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）令t=log_ax，則x=a^t，∴，從而可得函數f（x）的表達式；
（Ⅱ）問題等價于f（a^x）＞f（2），從而a^x＞2，由于0＜a＜1，∴x＜log_a2；
（Ⅲ）將問題轉化為f（n）=+…+（a^2n-1+a）]，再利用基本不等式可知，從而有f（n）≥n；若f（x）-4的值僅在x＜2時取負數等價于f（x）＜4時x＜2恒成立，從而可解．
解答：解：（Ⅰ）令t=log_ax，則x=a^t，∴，∴f（x）=），x∈R．（2分）     
∵f（-x）=f（x），∴奇函數．∵0＜a＜1，∴函數為增函數（2分）
（Ⅱ）∵f（a^x）-f（2）＞f（2）-f（a^x）
∴f（a^x）＞f（2），a^x＞2，
∵0＜a＜1，∴x＜log_a2（4分）
（Ⅲ）（理料）f（1）=1，（1分）
當n≥2時，f（n）=…a^2n-1，）
=+…+（a^2n-1+a）]＞（5分）
或用數學歸納法證明：f（k+1）=af（k）+a^-k＞ak+ak^-k∵0＜a＜1，
∴可令，∴
（文科）∵（6分）
點評：本題主要考查函數解析式的求解及函數性質的判斷，同時考查利用基本不等式進行大小比較，有一定的綜合性．