Question

（2013•廣州二模）巳知a＞0，設命題p：函數f（x）=x²-2ax+1-2a在區間[0，1]上與x軸有兩個不同 的交點；命題q：g（x）=|x-a|-ax在區間（0，+∞）上有最小值．若（￢p）∧q是真命題，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：由拋物線的特點可知p成立需

f(0)≥0 f(1)≥0 0＜a＜1 △＞0

，解之可得a的范圍，同理g（x）=

(1-a)x-a，    x≥a -(1+a)x+a，    x＜a

，要滿足題意需0＜a≤1，再由（￢p）∧q是真命題，可得p是假命題且q是真命題，進而可得

0＜a≤ 2 -1，或a＞ 1 2 0＜a≤1

，化簡可得答案．

解答：解：函數f（x）=x²-2ax+1-2a在區間[0，1]上與x軸有兩個不同的交點，
必須

f(0)≥0 f(1)≥0 0＜a＜1 △＞0

，即

1-2a≥0 2-4a≥0 0＜a＜1 (-2a)2-4(1-2a)＞0

，解得

2

-1＜a≤

1

2

．
所以當

2

-1＜a≤

1

2

時，函數f（x）=x²-2ax+1-2a在區間[0，1]上與x軸有兩個不同的交點；
由題意可得g（x）=|x-a|-ax=

(1-a)x-a，    x≥a -(1+a)x+a，    x＜a

，因為a＞0，所以-（1+a）＜0，
所以函數y₁=-（1+a）x+a是單調遞減的，要g（x）使在區間（0，+∞）上有最小值，
必須使y₂=（1-a）x-a在[a，+∞）上單調遞增或為常數，即1-a≥0，解得a≤1，
所以當0＜a≤1時，函數g（x）使在區間（0，+∞）上有最小值．
若（￢p）∧q是真命題，則p是假命題且q是真命題，
所以

0＜a≤ 2 -1，或a＞ 1 2 0＜a≤1

，解得0＜a≤

2

-1，或

1

2

＜a≤1，
故實數a的取值范圍為：（0，

2

-1]∪（

1

2

，1]

點評：本題考查復合命題的真假，涉及函數的值域和函數的零點，屬基礎題．