Question

已知函數f（x）=

2x-a

x2+2

（x∈R）．
（1）當f（1）=1時，求函數f（x）的單調區間；
（2）設關于x的方程f（x）=

1

x

的兩個實根為x₁，x₂，且-1≤a≤1，求|x₁-x₂|的最大值；
（3）在（2）的條件下，若對于[-1，1]上的任意實數t，不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先由f（1）=1解得a，用導數法研究單調性；（2）方程f（x）=

1

x

可化為x²-ax-2=0，△=a²+8＞0，可知方程x²-ax-2=0有兩不同的實根x₁，x₂，再由韋達定理建立|x₁-x₂|=

(x1+x2) 2-4x1x2

=

a2+8

模型求解；（3）若不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|恒成立，
結合（2）可轉化為m²+tm-2≥0，t∈[-1，1]都成立，再求g（t）=m²+tm-2最小值即可．

解答：解：（1）由f（1）=1得a=-1，
f′（x）=

2(x2+2)-2x(x+1)

(x2+2)2

=

-2(x2+x-2)

(x2+2)2

=

-2(x+2)(x-1)

(x2+2)2

≥0
-2≤x≤1，所以f（x）的減區間是（-∞，-2]和[1，+∞），增區間是[-2，1]（5分）
（2）方程f（x）=

1

x

可化為x²-ax-2=0，△=a²+8＞0
∴x²-ax-2=0有兩不同的實根x₁，x₂，
則x₁+x₂=a，x₁x₂=-2
∴|x₁-x₂|=

(x1+x2) 2-4x1x2

=

a2+8

∵-1≤a≤1，∴當a=±1時，
∴|x₁-x₂|_max=

a1+8

=3
（3）若不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|恒成立，
由（2）可得m²+tm+1≥3，對t∈[-1，1]都成立m²+tm-2≥0，t∈[-1，1]，
設g（t）=m²+tm-2
若使t∈[-1，1]時g（t）≥0都成立，
則

g(-1)=-m+m2-2≥0 g(1)=m+m2-2≥0

解得：m≥2或m≤-2，所以m的取值范圍是m≥2或m≤-2

點評：本題主要考查導數法研究單調性，一元二次方程根的問題及不等式恒成立問題，同時考查轉化化歸的思想．