Question

設兩個非零向量a與b不共線．
(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)．求證：A、B、D三點共線；
(2)試確定實數k，使ka＋b和a＋kb共線．

Answer 1

（1）見解析（2）k＝±1

(1)證明：∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，
∴＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5.
∴，共線．
又它們有公共點B，∴A、B、D三點共線．
(2)解：∵ka＋b與a＋kb共線，
∴存在實數λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，
即(k－λ)a＝(λk－1)b.
又a、b是兩不共線的非零向量，
∴k－λ＝λk－1＝0.
∴k²－1＝0.∴k＝±1.