Question

在曲線y=1-x²（x≥0，y≥0）上找一點（x₀，y₀），過此點作一切線與x軸、y軸圍成一個三角形．
（1）求三角形面積S的最小值及相應的x₀；
（2）當三角形面積達到最小值時，求此三角形的外接圓方程．

Answer 1

（1）y'=-2x，則過點（x₀，y₀）的切線方程為y-（1-x₀²）=-2x₀（x-x₀），
與x、y軸圍成的三角形面積為S=f(x0)=

1

4

(

x

30

+2x0+

1

x0

)，
則S′=

1

4

(3

x

20

+2-

1

x 20

)，令S'=0得x0=

3

3

當x∈(0，

3

3

)時，S'＜0，f（x₀）單調遞減；  當x∈(

3

3

，1)時，S'＞0，f（x₀）單調遞增．
∴S的最小值為

4 3

9

，此時x0=

3

3

（7分）
（2）當三角形面積最小時，切線方程為y=-

2 3

3

x+

4

3

，切線與x、y軸的交點分別為A(

2 3

3

，0)、B(0，

4

3

)，
∴此三角形的外接圓圓心為(

3

3

，

2

3

)，半徑為

7

3

，
∴所求外接圓方程(x-

3

3

)2+(y-

2

3

)2=

7

9

（12分）