Question

【題目】若函數在上存在唯一的滿足, 那么稱函數是上的“單值函數”.已知函數是上的“單值函數”，當實數取最小值時，函數在上恰好有兩點零點，則實數的取值范圍是___________．

Answer 1

【答案】

【解析】由題意可知，
在區間[0，a]存在唯一的x（0≤x≤a），
滿足∵f（x）=x3-x2+m，
∴f′（x）=3x2-2x，
∴方程3x2-2x=a2-a在區間[0，a]有且只有一個解．
令g（x）=3x2-2x-a2+a，（0≤x≤a），
∴△=0或g（0）g（a）≤0，
即為3a2-3a+1=0或（a-a2）（2a2-a）≤0 即a∈或a≥1，
解得a≥1，
當實數a取最小值1時，函數f（x）在[0，1]上恰有兩個零點，
即為x3-x2+m=0，即-m=x3-x2，
令h（x）=x3-x2，h′（x）=3x2-2x，
當0＜x＜ 時，h（x）遞減，當＜x＜1時，h（x）遞增，
可得h（x）的最小值為h=-, h（0）=0，h（1）=0，
則h（x）的最大值為0,則-＜-m≤0解得0≤m＜

故答案為