Question

已知函數對任意都有，若的圖象關于直線對稱，且，則

A．2

B．3

C．4

D．6

Answer 1

A

解析考點：抽象函數及其應用．
分析：先由函數f（x-1）的圖象關于直線x=1對稱，得函數f（x）的圖象關于直線x=0對稱，即函數f（x）是偶函數，故有f（-x）=f（x）．再把-2代入f（x+4）-f（x）=2f（2），可得函數周期為4；就把f（2011）轉化為f（3）=f（-1）=f（1）即可求解．
解：∵函數f（x-1）的圖象關于直線x=1對稱，
∴函數f（x）的圖象關于直線x=0對稱，即函數f（x）是偶函數，
∴f（-x）=f（x）．
∵對任意x∈R，都有f（x+4）-f（x）=2f（2），
∴f（-2+4）=f（-2）+2f（2）
∴f（-2）+f（2）=0，
即2f（2）=0，
∴f（2）=0．
∴f（x+4）=f（x）+2f（2）=f（x），即函數周期為4．
∴f（2011）=f（4×502+3）=f（3）=f（-1）=f（1）=2．
故選A．