Question

若函數f（x）=log_ax（a＞0，a≠1）在區(qū)間[

1

4

， 2]上的最大值為1，最小值為m，且函數g（x）=（m+1）x²在區(qū)間[0，+∞）上是增函數，則a=

1

4

．

Answer 1

分析：利用二次函數的單調性、對數函數的單調性、分類討論即可得出．

解答：解：∵函數g（x）=（m+1）x²在區(qū)間[0，+∞）上是增函數，∴m+1＞0，解得m＞-1．
①當a＞1時，函數f（x）=log_ax（a＞0，a≠1）在區(qū)間[

1

4

， 2]上單調遞增，由已知可得

loga2=1 loga 1 4 =m

，解得

a=2 m=-2

，與m＞-1矛盾，故應舍去；
②當0＜a＜1時，函數f（x）=log_ax（a＞0，a≠1）在區(qū)間[

1

4

， 2]上單調遞減，由已知可得

loga 1 4 =1 loga2=m

，解得

a= 1 4 m=- 1 2

，滿足m＞-1，故a=

1

4

．
故答案為

1

4

．

點評：熟練掌握二次函數的單調性、對數函數的單調性、分類討論的方法是解題的關鍵．