Question

設F₁，F₂是雙曲線x2-

y2

4

=1的左、右焦點，若雙曲線右支上存在一點P，使(

OP

+

OF2

)•

F2P

=0，且|

PF2

|=λ|

PF1

|，則λ的值為（　　）

• A．

  1

  3

• B．

  1

  2

• C．2
• D．3

Answer 1

分析：利用向量減法的定義，結合數量積的運算性質，將(

OP

+

OF2

)•

F2P

=0化簡得

|OP|

 =

|OF2|

 =c=

5

，從而得到△PF₁F₂是以P為直角頂點的直角三角形，再由勾股定理和雙曲線的定義建立方程組，解出

|PF1|

、

|PF2|

的值，從而得出λ的值．

解答：解：∵

F2P

=

OP

-

OF2

∴(

OP

+

OF2

)•

F2P

=(

OP

+

OF2

)•(

OP

-

OF2

)=0
即

OP

2=

OF2

2，得

|OP|

 =

|OF2|

 =c=

5

∴△PF₁F₂中，中線

|OP|

 =

1

2

|F2F2|

 ，得PF₁⊥PF₂，
由此可得

|PF1|  2+ |PF2| 2=4c2=20 | |PF1|  - |PF2|  |=2a=2

，解之得

|PF1|

=4，

|PF2|

=2或

|PF1|

=2，

|PF2|

=4
∵點P在雙曲線右支上，
∴

|PF1|

＞

|PF2|

，得

|PF1|

=4，

|PF2|

=2，結合|

PF2

|=λ|

PF1

|得λ=

1

2

故選B

點評：本題以向量為載體，求雙曲線兩條焦半徑的比值，著重考查了雙曲線的定義、標準方程和簡單幾何性質等知識，屬于基礎題．