Question

【題目】已知正項數列{an}，a1=1，an=an+12+2an+1（Ⅰ）求證：數列{log2（an+1）}為等比數列：
（Ⅱ）設bn=n1og2（an+1），數列{bn}的前n項和為Sn ， 求證：1≤Sn＜4．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵an=an+12+2an+1 ， ∴an+1=（an+1+1）2 ，
∵an＞0，
∴2log2（an+1+1）=log2（an+1），
即log2（an+1+1）= log2（an+1），
即數列{log2（an+1）}是1為首項， 為公比的等比數列：
（Ⅱ）∵數列{log2（an+1）}是1為首項， 為公比的等比數列：
∴log2（an+1）= ，
設bn=n1og2（an+1）=n ，
則數列{bn}的前n項和為Sn=1+ ，
Sn= ．
兩式相減得 Sn=1+ =2[1﹣（ ）n]﹣ ，
∴Sn=4﹣ ．
∵bn=n ＞0，
∴Sn≥S1=1，
∴1≤Sn＜4
【解析】（Ⅰ）根據數列的遞推關系結合等比數列的定義即可證明數列{log2（an+1）}為等比數列：（Ⅱ）求出bn=n1og2（an+1）的表達式，利用錯位相減法即可求出數列{bn}的前n項和為Sn ．
【考點精析】本題主要考查了等比關系的確定和數列的前n項和的相關知識點，需要掌握等比數列可以通過定義法、中項法、通項公式法、前n項和法進行判斷；數列{an}的前n項和sn與通項an的關系才能正確解答此題．