Question

設函數f(x)=sin(ωx+?)(ω＞0，-

π

2

＜?＜

π

2

)，有下列論斷：
①f（x）的圖象關于直線x=

π

12

對稱；
②f（x）的圖象關于(

π

3

，0)對稱；
③f（x）的最小正周期為π；
④在區間[-

π

6

，0]上，f（x）為增函數．
以其中的兩個論斷為條件，剩下的兩個論斷為結論，寫出你認為正確的一個命題：若

①③

，則

②④

．（填序號即可）

Answer 1

分析：經驗證可得①③可推②④，由三角函數的對稱性和單調性證明即可．

解答：解：由題意可得①③可推②④，下面證明之，
由③f（x）的最小正周期為π，可得

2π

ω

=π，即ω=2，
可得f（x）=sin（2x+?），
又①f（x）的圖象關于直線x=

π

12

對稱；
故sin（2×

π

12

+?）=±1，即2×

π

12

+?=kπ+

π

2

，k∈Z，
解之可得?=kπ+

π

3

，
又因為-

π

2

＜?＜

π

2

，所以?=

π

3

，
故可得f（x）=sin（2x+

π

3

），
由于sin（2×

π

3

+

π

3

）=sinπ=0，故②f（x）的圖象關于(

π

3

，0)對稱，正確；
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

可得kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

，當k=0時，
單調遞增區間為[-

5π

12

，

π

12

]?[-

π

6

，0]，故④在區間[-

π

6

，0]上，f（x）為增函數，正確．
故由①③作為論斷可推出②④，
故答案為：①③，②④

點評：本題考查正弦函數的對稱性和單調性，作為開放性的題目為本題增加了難度，屬中檔題．