Question

已知A（-2，0），B（2，0），點C、D依次滿足|

AC

|=2，

AD

=

1

2

(

AB

+

AC

)．
（1）求點D的軌跡；
（2）過點A作直線l交以A、B為焦點的橢圓于M、N兩點，線段MN的中點到y軸的距離為

4

5

，且直線l與點D的軌跡相切，求該橢圓的方程；
（3）在（2）的條件下，設點Q的坐標為（1，0），是否存在橢圓上的點P及以Q為圓心的一個圓，使得該圓與直線PA，PB都相切，如存在，求出P點坐標及圓的方程，如不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設C（x₀，y₀），D（x，y），由

AD

=

1

2

(

AB

+

AC

)可得C、D兩點坐標關系①，由|

AC

|=2可得(x0+2)2+y02=4②，由①②消掉x₀，y₀即得所求軌跡方程，進而得其軌跡；
（2）設直線l的方程為y=k（x+2）橢圓的方程

x2

a2

+

y2

a2-4

=1(a2＞4)，由l與圓相切可得k²值，聯立直線方程與橢圓方程消掉y并代入k²值，可用a表示出由中點坐標公式及MN的中點到y軸的距離為

4

5

可得a的方程，解出即可；
（3）假設存在橢圓上的一點P（x₀，y₀），使得直線PA，PB與以Q為圓心的圓相切，易知點Q到直線PA，PB的距離相等，根據點到直線的距離公式可得一方程，再由點P在橢圓上得一方程聯立可解得點P，進而得到圓的半徑；

解答：解：（1）設C(x0，y0)，D(x，y)，

AC

=(x0+2，y0)，

AB

=(4，0)．

AD

=(

x0

2

+3，

y0

2

)=（x+2，y），則

x0=2(x-1) y0=2y

，
代入|

AC

|2=(x0+2)2+y02=4，得x2+y2=1．
所以，點D的軌跡是以原點為圓心，1為半徑的圓．      
（2）設直線l的方程為y=k（x+2）．①
橢圓的方程

x2

a2

+

y2

a2-4

=1(a2＞4)；②
由l與圓相切得：

|2k|

1+k2

=1，k2=

1

3

．
將①代入②得：（a²k²+a²-4）x²+4a²k²x+4a²k²-a⁴+4a²=0，
又k2=

1

3

，可得(a2-3)x2+a2x-

3

4

a4+4a2=0，
有x1，2=

-a2± 3 a(a2-4)

2(a2-3)

，
∴x1+x2=-

a2

a2-3

=-2×

4

5

，解得a²=8．
∴橢圓方程為

x2

8

+

y2

4

=1．
（3）假設存在橢圓上的一點P（x₀，y₀），使得直線PA，PB與以Q為圓心的圓相切，
則Q到直線PA，PB的距離相等，
A（-2，0），B（2，0），PA：（x₀+2）y-y₀x-2y₀，PB：（x₀-2）y-y₀x+2y₀=0，
d1=

|y0|

(x0-2)2+y02

=

|3y0|

(x0+2)2+y02

=d₂，
化簡整理得：8x02-40x0+32+8y02=0，
∵點P在橢圓上，∴x02+2y02=8，
解得：x₀=2或x₀=8（舍）
x₀=2時，y0=±

2

，r=1，
∴橢圓上存在點P，其坐標為（2，

2

）或（2，-

2

），使得直線PA，PB與以Q為圓心的圓（x-1）²+y²=1相切．

點評：本題考查直線方程、圓的方程、橢圓方程及其位置關系，考查學生分析解決問題的能力，綜合性強，能力要求較高．