Question

設函數f（x）=

3

sinxcosx+cos²x+a．
（1）寫出函數f（x）的最小正周期及單調遞減區間；
（2）當x∈[-

π

6

，

π

3

]時，函數f（x）的最大值與最小值的和為

3

2

，求f（x）的圖象、y軸的正半軸及x軸的正半軸三者圍成圖形的面積．

Answer 1

分析：（1）先根據兩角和與差的正弦公式將函數f（x）化簡為y=Asin（wx+ρ）+b的形式，根據T=

2π

w

可求最小正周期，再由正弦函數的單調性確定單調區間．
（2）先根據x的范圍求出2x+

π

6

的范圍，再由正弦函數的單調性求出最大值和最小值，進而可得a的值，從而確定函數f（x）的解析式，再得到f（x）的圖象與x軸正半軸的第一個交點，最后根據微積分的知識求出面積．

解答：解：（1）f（x）=

3

2

sin2x+

1+cos2x

2

+a=sin（2x+

π

6

）+a+

1

2

∴T=π
由

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

3π

2

+2kπ，得

π

6

+kπ≤x≤

2π

3

+kπ
故函數f（x）的單調遞減區間是[

π

6

+kπ，

2π

3

+kπ]（k∈Z）
（2）∵-

π

6

≤x≤

π

3

，∴-

π

6

≤2x+

π

6

≤

5π

6

，∴-

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1
當x∈[-

π

6

，

π

3

]時，原函數的最大值與最小值的和（1+a+

1

2

）+（-

1

2

+a+

1

2

）=

3

2

∴a=0，∴f（x）=sin（2x+

π

6

）+

1

2

f（x）的圖象與x軸正半軸的第一個交點為（

π

2

，0）
所以f（x）的圖象、y軸的正半軸及x軸的正半軸三者圍成圖形的面積
S=

∫

π 2 0

[sin(2x+

π

6

)+

1

2

]dx=[-

1

2

cos(2x+

π

6

)+

x

2

]

|

π 2 0

=

2 3 +π

4

點評：本題主要考查兩角和與差的正弦公式和三角函數的基礎知識．三角函數是高考的必考題，要強化訓練．