Question

【題目】已知橢圓：的離心率為，點在橢圓上.

（1）求橢圓的方程；

（2）若不過原點的直線與橢圓相交于，兩點，與直線相交于點，且是線段的中點，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）根據離心率為，點在橢圓上，結合性質 ，列出關于 、 、的方程組，求出 、，即可得結果；（2）先判斷直線的斜率存在，設直線的方程為，與聯立消，得，由在直線上求得，利用弦長公式、點到直線距離公式，結合三角形面積公式求得，利用基本不等式可得結果.

（1）由橢圓：的離心率為，點在橢圓上，得，解得，所以橢圓的方程為.

（2）易得直線的方程為.

當直線的斜率不存在時，的中點不在直線上，故直線的斜率存在.

設直線的方程為，與聯立消，得，所以.

設，，

則，.由,

所以的中點,

因為在直線上，所以，解得，

所以，得，且，

，

又原點到直線的距離，所以 ，當且僅當，即時等號成立，符合，且，所以面積的最大值為.