Question

（本題滿分12分）一條雙曲線的左、右頂點分別為，點是雙曲線上不同的兩個動點。
(1)求直線與交點的軌跡的方程式；
(2)設直線與曲線相交于不同的兩點，已知點的坐標為，若點在線段的垂直平分線上，且.求的值.

Answer 1

解：（1）由，，        ……………2分
兩式相乘得，而點在雙曲線上，
所以      ……………2分
所以橢圓的方程為.                                             ….1分
(2)解：由（1）可知A（-2,0）。設B點的坐標為（x_1,,y₁）,直線l的斜率為k，則直線l的方程為y=k(x+2),
于是A,B兩點的坐標滿足方程組                             
由方程組消去Y并整理，得           ……1分
由得
                                      
設線段AB是中點為M，則M的坐標為                  ……1分
（1）當k=0時，點B的坐標為（2,0）。線段AB的垂直平分線為y軸，于是
              …1分
（2）當K時，線段AB的垂直平分線方程為
令x=0，解得
由

                            ……………2分
整理得                           
綜上                          ……2分

略