Question

【題目】如圖，三棱錐中，是的中點，為正三角形，，，，平面平面.

（1）求證：；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見證明；（2）

【解析】

（1）由條件可得，再根據平面平面，得到平面，于是可證得．（2）建立空間直角坐標系，求出平面的法向量和直線的方向向量，根據兩向量夾角的余弦值可得所求正弦值．

（1）∵，，，

∴，

∴．

∵平面平面，且平面平面，

∴平面．

又平面．

∴．

（2）取中點，連接，

∵為正三角形．

∴，

又平面平面，且平面平面，

∴平面．

由，知．

過點作，則，

分別以，，為，，軸建立如圖所示空間直角坐標系，

則，，，，，

∵是的中點，

∴，

∴，，．

設平面的一個法向量為，

則，即，令，得，，

∴．

設直線與平面所成角為，

則．

故直線與平面所成角的正弦值為．