Question

已知△ABC的三個內角A、B、C所對的邊分別為a，b，c，向量

m

=（4，-1），

n

=（cos²

A

2

，cos2A），且

m

•

n

=

7

2

．
（1）求角A的大小；
（2）若a=

3

，試判斷b×c取得最大值時△ABC形狀．

Answer 1

分析：（1）利用已知計算

m

•

n

，然后令它等于

7

2

，可求A的值．
（2）利用余弦定理，求得bc的關系，再用基本不等式和最大值，判定三角形的形狀．

解答：解：（1）由

m

 =(4，-1) ， 

n

=(cos2 

A

2

，cos2A)

m

•

n

=4cos2

A

2

-cos2A（1分）
=4-

1+cosA

2

-(2cos2A-1)=-2cos²A+2cosA+3（3分）
又因為

m

•

n

=

7

2

．所以-2cos2A+2cosA+3 =

7

2

解得cosA=

1

2

（5分）
∵＜A＜π，∴A=

π

3

（6分）
（2）在△ABC中a²=b²+c²-2bccosA且a=

3

，
∴（

3

）2=b²+c²-bc．（8分）
∵b²+c²≥2bc，∴3≥2bc-bc
即 bc≤3當且僅當  b=c=

3

時，bc取得最大值，（10分）
又由（1）知  A=60°∴B=C=60°
故 bc取得最大值時，△ABC為等邊三角形．（12分）

點評：本題考查平面向量數量積，余弦定理，三角函數的基本關系式，是中檔題．