Question

若雙曲線

x2

m2

-

y2

n2

=1（m＞n＞0）和橢圓

x2

m2

+

y2

n2

=1（m＞n＞0）的離心率分別為e₁和e₂，則e₁e₂的最大值為

 

．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：根據雙曲線和橢圓離心率的定義分別求出對應的離心率，即可得到結論．

解答： 解：雙曲線中a=m，b=n，c=

m2+n2

，雙曲線的離心率e₁=

c

a

=

m2+n2

m

，
橢圓中a=m，b=n，c=

m2-n2

，橢圓的離心率e₂=

c

a

=

m2-n2

m

，
則e₁e₂=

m2+n2

m

•

m2-n2

m

=

m4-n4 m4

=

1-( n m )4

，
∵m＞n＞0，
∴0＜

n

m

＜1，即0＜（

n

m

）⁴＜1，0＜1-（

n

m

）⁴＜1，
即0＜

1-( n m )4

＜1，
∴e₁e₂的最大值不存在，
故答案為：不存在

點評：本題主要考查雙曲線和橢圓離心率的計算，根據條件求出相應的離心率是解決本題的關鍵．