Question

【題目】在正方體中，、分別為、的中點，，，如圖.

（1）若交平面于點，證明：、、三點共線；

（2）線段上是否存在點，使得平面平面，若存在確定的位置，若不存在說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）存在，且.

【解析】

（1）先得出為平面與平面的交線，然后說明點是平面與平面的公共點，即可得出、、三點共線；

（2）設，過點作交于點，然后證明出平面平面，再確定出點在上的位置即可.

（1），平面，平面，所以，點是平面和平面的一個公共點，同理可知，點也是平面和平面的公共點，則平面和平面的交線為，

平面，平面，所以，點也是平面和平面的公共點，由公理三可知，，因此，、、三點共線；

（2）如下圖所示：

設，過點作交于點，

下面證明平面平面.

、分別為、的中點，，

平面，平面，平面.

又，平面，平面，平面，

，、平面，因此，平面平面.

下面來確定點的位置：

、分別為、的中點，所以，，且，則點為的中點，

易知，即，又，所以，四邊形為平行四邊形，，

四邊形為正方形，且，則為的中點，所以，點為的中點，，

因此，線段上是否存在點，且時，平面平面.