Question

【題目】如圖，矩形中， ， ， 在邊上，且，將沿折到的位置，使得平面平面.

（Ⅰ）求證： ；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析;（Ⅱ）.

【解析】試題分析：（I）連接交于點，根據對應邊成比例可證得兩個直角三角形相似，由此證得，而，故平面，所以.（II）由（I）知平面，以為原點聯立空間直角坐標系，利用平面和平面的方向量，計算兩個半平面所成角的余弦值.

試題解析：

（Ⅰ）連接交于點，依題意得，所以 ，

所以，所以，所以，

即， ，又， ,平面.

所以平面.

又平面，所以.

（Ⅱ）因為平面平面，

由（Ⅰ）知， 平面，

以為原點，建立空間直角坐標系如圖所示.

在中，易得， ， ，

所以， ， ，

則， ，

設平面的法向量，則，即，解得，

令，得，

顯然平面的一個法向量為.

所以 ，所以二面角的余弦值為.