Question

．．已知?jiǎng)訄AP過(guò)點(diǎn)并且與圓相外切，動(dòng)圓圓心P的軌跡為W，過(guò)點(diǎn)N的直線(xiàn)與軌跡W交于A(yíng)、B兩點(diǎn)。
（1）求軌跡W的方程；
（2）若，求直線(xiàn)的方程；
（3）對(duì)于的任意一確定的位置，在直線(xiàn)上是否存在一點(diǎn)Q，使得，并說(shuō)明理由。

Answer 1

（1）
（2）
（3）存在

解：（1）依題意可知 ∴
∴點(diǎn)P的軌跡W是以M、N為焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)的右支
設(shè)其方程為   則  ∴
∴軌跡W的方程為……………………4分
（2）當(dāng)的斜率不存在時(shí)，顯然不滿(mǎn)足，故的斜率存在，
設(shè)的方程為
由得
又設(shè)，則

由①②③解得
∵ ∴
∴ 代入①②得，
消去得，即
故所求直線(xiàn)的方程為：…………………………9分
（3）問(wèn)題等價(jià)于判斷以AB為直徑的圓是否與直線(xiàn)有公共點(diǎn)
若直線(xiàn)的斜率不存在，則以AB為直徑的圓為
可知其與直線(xiàn)相交
若直線(xiàn)的斜率存在，則設(shè)直線(xiàn)的方程為

由（2）知且
又為雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)，雙曲線(xiàn)的離心率e=2
則
設(shè)以AB為直徑的圓的圓心為S，點(diǎn)S到直徑的距離為d，則

∴
∵  ∴ 即
即直線(xiàn)與圓S相交。
綜上所述，以線(xiàn)段AB為直徑的圓與直線(xiàn)相交
故對(duì)于的任意一確定的位置，與直線(xiàn)上存在一點(diǎn)Q（實(shí)際上存在兩點(diǎn)）
使得 ………………………………14分