Question

【題目】動(dòng)圓過定點(diǎn)，且在軸上截得的弦的長為4.

（1）若動(dòng)圓圓心的軌跡為曲線，求曲線的方程；

（2）在曲線的對稱軸上是否存在點(diǎn)，使過點(diǎn)的直線與曲線的交點(diǎn)滿足為定值？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)及定值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）.（2）存在點(diǎn)，定值為.

【解析】

（1）設(shè)，由題意知：，利用距離公式及弦長公式可得方程，化簡可得P的軌跡方程；

（2）假設(shè)存在，設(shè)，由題意知直線的斜率必不為0，設(shè)直線的方程，與拋物線聯(lián)立，利用根與系數(shù)關(guān)系可求得，當(dāng)時(shí)，上式，與無關(guān)，為定值.

（1）設(shè)，由題意知：.

當(dāng)點(diǎn)不在軸上時(shí)，過做，交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，

，.

又，

，化簡得；

當(dāng)點(diǎn)在軸上時(shí)，易知點(diǎn)與點(diǎn)重合.也滿足，

曲線的方程為.

（2）假設(shè)存在，滿足題意.

設(shè).由題意知直線的斜率必不為0，

設(shè)直線的方程為.

由得.，.

，.

，

，

，

.

，

當(dāng)時(shí)，上式，與無關(guān)，為定值.

存在點(diǎn)，使過點(diǎn)的直線與曲線的交點(diǎn)滿足為定值.