Question

在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=AD=a，BC=2a，PD⊥底面ABCD，PD=3a．
（1）求三棱錐B-PAC的體積；
（2）在PD上是否存在一點F，使得PB∥平面ACF，若存在，求出

PF

FD

的值；若不存在，試說明理由；

Answer 1

分析：（1）先根據PD⊥底面ABCD可得三棱錐B-PAC的高，進而根據棱錐的體積公式可求得答案．
（2）存在點F使PB∥平面ACF，且

PF

DF

=2
先連接BD交AC于E，連接EF，可得到AD∥BC，再由等比線段的性質得到PB∥EF，最后根據線面平行的判定定理得到PB∥平面ACF，得證．

解答：解：（1）∵PD⊥底面ABCD∴PD是三棱錐B-PAC的高，
∴v=

1

3

×PD×S△ABC=

1

3

×3a×

1

2

a×2a=a³

（2）存在點F使PB∥平面ACF，

PF

DF

=2
連接BD交AC于E，連接EF，AD∥BC，AD=a，BC=2a，
所以

AD

BC

=

DE

EB

=

DF

PF

=

1

2

，所以PB∥EF
又EF⊆平面ACF，PB不在平面ACF內，所以PB∥平面ACF

點評：本題主要考查線面平行的判定定理和棱錐的體積公式的應用．考查考生的空間想象能力和基礎知識的綜合應用．