Question

16、用數(shù)學(xué)歸納法證明命題：
（n+1）×（n+2）×…×（n+n）=2ⁿ×1×3×…×（2n-1）

Answer 1

分析：本題考察的知識(shí)點(diǎn)是數(shù)學(xué)歸納法，要證明（n+1）×（n+2）×…×（n+n）=2ⁿ×1×3×…×（2n-1）成立，我們要先證明n=1時(shí)，等式成立，再假設(shè)n=k時(shí)，等式成立，進(jìn)而求證n=k+1時(shí)，等式成立．

解答：證明：①當(dāng)n=1時(shí)，左邊=2，右邊=2¹×1，等式成立；
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，等式成立，
即（k+1）×（k+2）×…×（k+k）=2^k×1×3×…×（2k-1）
則當(dāng)n=k+1時(shí)，
左邊=（k+1）×（k+2）×…×（k+k）×（k+k+1）×（k+1+k+1）
=2^k×1×3×…×（2k-1）×（k+k+1）×（k+1+k+1）
=2^k×1×3×…×（2k-1）×[2（k+1）-1]×（k+1）×2
=2^k+1×1×3×…×（2k-1）×[2（k+1）-1]
即n=k+1時(shí)，等式也成立．
所以（n+1）×（n+2）×…×（n+n）=2ⁿ×1×3×…×（2n-1）對(duì)任意正整數(shù)都成立．

點(diǎn)評(píng)：數(shù)學(xué)歸納法常常用來(lái)證明一個(gè)與自然數(shù)集N相關(guān)的性質(zhì)，其步驟為：設(shè)P（n）是關(guān)于自然數(shù)n的命題，若1）（奠基） P（n）在n=1時(shí)成立；2）（歸納） 在P（k）（k為任意自然數(shù)）成立的假設(shè)下可以推出P（k+1）成立，則P（n）對(duì)一切自然數(shù)n都成立．