Question

對于函數y=f（x）和其定義域的子集D，若存在常數M，使得對于任意的x₁∈D，存在唯一的x₂∈D，滿足等式

f(x1)+f(x2)

2

=M，則稱M為f（x）在D上的均值．下列函數中以

1

2

為其在（0，+∞）上的唯一均值的是①②④（填所有你認為符合條件的函數的序號）①y=(

1

2

)x；         ②y=

1

x+1

；         ③y=-x²+1；         ④y=log₂x．

Answer 1

分析：首先分析題目求對于任意的x₁∈D，存在唯一的x₂∈D，使

f(x1)+f(x2)

2

=

1

2

成立的函數．
對于函數①y=(

1

2

)x，可直接取任意的x₁∈（0，+∞），驗證即可；
對于函數②y=

1

x+1

，可直接取任意的x₁∈（0，+∞），驗證求出唯一的 x₂=4-x₁，即可得到成立．故②對．
對于函數③y=-x²+1，特殊值法代入驗證不成立成立．即可得到答案．
對于函數④y=log₂x，定義域為x＞0，值域為R且單調，顯然成立．

解答：解：對于函數①y=(

1

2

)x；定義域為（0，+∞），值域為0＜y＜1．對于?x₁∈（0，+∞），?x₂∈（0，+∞）．使

f(x1)+f(x2)

2

=

1

2

成立，故①對．
對于函數②y=

1

x+1

，可直接取任意的x₁∈R，驗證求出唯一的x₂=

1

x1

，即可得到成立．故②對．
對于函數③y=-x²+1，取任意的x₁∈R，

f(x1)+f(x2)

2

=

x 2 1 + x 2 2

2

=

1

2

，x2=±

1- x 2 1

，可以兩個的x₂∈D．故不滿足條件．
對于函數④y=log₂x，定義域為x＞0，值域為R且單調，顯然必存在唯一的x₂∈D，使

f(x1)+f(x2)

2

=

1

2

成立．故成立．
故答案為：①②④

點評：此題主要應用新定義的方式考查平均值不等式在函數中的應用．對于新定義的問題，需要認真分析定義內容，切記不可偏離題目．