Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為矩形，，側面為等邊三角形且垂直于底面，是的中點.

（1）在棱上取一點使直線∥平面并證明；

（2）在（1）的條件下，當棱上存在一點，使得直線與底面所成角為時，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）上取中點，證明見詳解；（2）

【解析】

（1）找上取中點，由線線平行推證線面平行；

（2）根據(jù)線面角的大小找到棱長的等量關系，再根據(jù)三垂線定理，找出二面角的平面角，在三角形中求解余弦值即可.

（1）在上取中點，在上取中點，連接，作圖如下：

由于平行且等于，平行且等于，

所以平行且等于，

所以四邊形是平行四邊形，

所以∥.

直線，

，

所以∥平面.

（2）取中點，連接，

由于為正三角形

∴

又∵平面平面，平面平面

∴平面，

連接，四邊形為正方形。

∵平面，

∴平面平面

而平面平面

過作，垂足為

∴平面

∴為與平面所成角，

∴

在中，，

∴，

設，，，

∴，

∴

在中，，

∴

∴，，

過點H作HN垂直于CD，垂足為N，連接MN，HN

因為MH平面ABCD,則即為所求二面角的平面角,

在中，因為，HN=FC=，

由勾股定理解得

故

故二面角的余弦值為.