Question

如圖，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的高為3，底面是邊長為4且∠DAB=60°的菱形，A₁C₁∩B₁D₁=O₁，E是O₁A的中點.

(Ⅰ)求二面角O₁-BC-D的大小；

(Ⅱ)求點E到平面O₁BC的距離．

Answer 1

解法一:(Ⅰ)過AC、BD的交點O作OF⊥BC于F，連接O₁F，

∵OO₁⊥面AC，∴BC⊥O₁F，

∴∠O₁FO是二面角O₁-BC-D的平面角，

∵OB=2，∠OBF=60°，∴OF=．

在Rt△O₁OF中，tan∠O₁FO=，

∴∠O₁FO=60°即二面角O₁—BC—D為60° 

(Ⅱ)在△O₁AC中，OE是△O₁AC的中位線，

∴OE∥O₁C，∴OE∥面O₁BC，

∵BC⊥面O₁OF，∴面O₁BC⊥面O₁OF，交線O₁F．

過O作OH⊥O₁F于H，則OH是點O到面O₁BC的距離，

∴OH=.∴點E到面O₁BC的距離等于．

解法二：(Ⅰ)∵OO₁⊥平面AC，

∴OO₁⊥OA，OO₁⊥OB，又OA⊥OB，

建立如圖所示的空間直角坐標系(如圖)

∵底面ABCD是邊長為4，∠DAB=60°的菱形，

∴OA=2，OB=2，

則A(2，0，0)，B(0，2，0)，C(-2，0，0)，O₁(0，0，3)

設平面O₁BC的法向量為n₁=(x,y,z),

則n₁⊥，n₁⊥，

∴，則z=2，則x=,y=3，

∴n₁=(，3，2)，而平面AC的法向量n₂=(0，0，3)  

∴cos＜n₁，n₂＞=，

設O₁-BC-D的平面角為α，∴cosα=；∴α=60°．

故二面角O₁-BC-D為60°．

(Ⅱ)設點E到平面O₁BC的距離為d，

∵E是O₁A的中點，∴=(，0，)，

則d=

∴點E到面O₁BC的距離等于