Question

已知集合，其中，由中的元素構成兩個相應的集合：，．其中是有序數對，集合和中的元素個數分別為和．若對于任意的，總有，則稱集合具有性質．
（I）檢驗集合與是否具有性質并對其中具有性質的集合，寫出相應的集合和；
（II）對任何具有性質的集合，證明：；
（III）判斷和的大小關系，并證明你的結論．

Answer 1

（I）；
（II）
（III）

解：集合不具有性質．
集合具有性質，其相應的集合和是，
．
（II）證明：首先，由中元素構成的有序數對共有個．
因為，所以；
又因為當時，時，，所以當時，．
從而，集合中元素的個數最多為，
即．
（III）解：，證明如下：
（1）對于，根據定義，，，且，從而．
如果與是的不同元素，那么與中至少有一個不成立，從而與中也至少有一個不成立．
故與也是的不同元素．
可見，中元素的個數不多于中元素的個數，即，
（2）對于，根據定義，，，且，從而．如果與是的不同元素，那么與中至少有一個不成立，從而與中也不至少有一個不成立，
故與也是的不同元素．
可見，中元素的個數不多于中元素的個數，即，
由（1）（2）可知，．