Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱長為a
（1）求直線BC₁與AC所成的角；
（2）求直線D₁B與平面ABCD所成角的正切值；
（3）求證：平面BDD₁⊥平面ACA₁．

Answer 1

分析：（1）連接AD₁，D₁C，證明∠D₁AC為直線BC₁與AC所成的角，即可求得結論；
（2）利用DD₁⊥平面ABCD，可得∠D₁DB為直線D₁B與平面ABCD所成的角，利用正切函數可得結論；
（3）利用線面垂直的判定定理證明AC⊥平面BD₁D，再利用面面垂直的判定定理證明平面ACA₁⊥平面BD₁D．

解答：（1）解：連接AD₁，D₁C，則
∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方體，∴四邊形ABC₁D₁是平行四邊形
∴A₁D₁∥DC₁，
∴∠D₁AC為直線BC₁與AC所成的角，
∵△AD₁C是等邊三角形，
∴直線BC₁與AC所成的角為60°；
（2）解：∵DD₁⊥平面ABCD，∴∠D₁DB為直線D₁B與平面ABCD所成的角，
在Rt△D₁DB中，tan∠D₁DB=

1

2

=

2

2

∴直線D₁B與平面ABCD所成角的正切值為

2

2

；
（3）證明：∵DD₁⊥平面ABCD，AC?平面ABCD
∴DD₁⊥AC
∵BD⊥AC，BD∩DD₁=D
∴AC⊥平面BD₁D
∵AC?平面ACA₁，
∴平面ACA₁⊥平面BD₁D------（14分）

點評：本題考查空間角，考查面面垂直，考查學生分析解決問題的能力，解題的關鍵是正確作出空間角．