Question

【題目】甲、乙兩位同學從A、B、C、D…共n（n≥2，n∈N+）所高校中，任選兩所參加自主招生考試（并且只能選兩所高校），但同學甲特別喜歡A高校，他除選A高校外，再在余下的n﹣1所中隨機選1所；同學乙對n所高校沒有偏愛，在n所高校中隨機選2所．若甲同學未選中D高校且乙選中D高校的概率為 ．
（1）求自主招生的高校數n；
（2）記X為甲、乙兩名同學中未參加D高校自主招生考試的人數，求X的分布列和數學期望．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知得甲同學選中D高校的概率為 ，

乙同學選中D高校的概率p2= = ，

∴甲同學未選中D高校且乙同學選取中D高校的概率為：

p=（1﹣p1）p2=（1﹣ ）× = ，

整理，得 ﹣23n+40=0，

∵n≥2，n∈N*，解得n=5，故自主招生的高校數為5所

（2）解：X的所有可能取值為0，1，2，

P（X=0）= = ，

P（X=1）= ，

P（X=2）= ，

∴X的分布列為：

X	0	2	3
P

EX= = ．

【解析】（1）由已知得甲同學選中D高校的概率為 ，乙同學選中D高校的概率p2= = ，甲同學未選中D高校且乙同學選取中D高校的概率為p=（1﹣p1）p2=（1﹣ ）× = ，由此能求出自主招生的高校數n．（2）X的所有可能取值為0，1，2，分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列和數學期望．