Question

正項等比數列{a_n}中，存在兩項a_m，a_n使得

am•an

=4a₁，且a₆=a₅+2a₄，則

1

m

+

4

n

最小值

 

．

Answer 1

考點：基本不等式,等比數列的性質

專題：不等式的解法及應用

分析：正項等比數列{a_n}滿足：a₆=a₅+2a₄，知q=2，由存在兩項a_m，a_n，使得a_ma_n=16a₁²，知m+n=6，由此問題得以解決

解答： 解：∵正項等比數列{a_n}滿足：a₆=a₅+2a₄，
∴a₄q²=a₅q+2a₄，
即：q²=q+2，解得q=-1（舍），或q=2，
∵存在a_m，a_n，使得

am•an

=4a₁，
即a_ma_n=16a₁²，
∴（a₁•2^m-1）•（a₁•2^n-1）=16a₁²，
所以，m+n=6，
∴

1

m

+

4

n

=（

1

m

+

4

n

）[

1

6

(m+n)]=

1

6

(5+

n

m

+

4m

n

)≥

1

6

(5+2

n m • 4m n

)=

3

2

，
∴

1

m

+

4

n

最小值是

3

2

．
故答案為：

3

2

．

點評：本題考查等比數列的通項公式的應用，解題時要認真審題，仔細解答．注意不等式也是高考的熱點，尤其是均值不等式和一元二次不等式的考查，兩者都兼顧到了．