Question

（2013•鄭州二模）已知橢圓C：

x2

4

+

y2

3

=1的右焦點為F，左頂點為A，點P為曲線D上的動點，以PF為直徑的圓恒與y軸相切．
（Ⅰ）求曲線D的方程；
（Ⅱ）設O為坐標原點，是否存在同時滿足下列兩個條件的△APM？①點M在橢圓C上；②點O為APM的重心．若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．（若三角形ABC的三點坐標為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），則其重心G的坐標為（

x1+x2+x3

3

，

y1+y2+y3

3

））

Answer 1

分析：（I）設P（x，y），由橢圓C的方程可得F（1，0），由題意可得以PF為直徑的圓的圓心E(

x+1

2

，y)，利用兩點間的距離公式得到

|x+1|

2

=

1

2

|PF|=

1

2

(x-1)2+y2

，化簡即可；
（II）不存在．可用反證法證明．若這樣的三角形存在，由題可設P(

y12

4

，y1)(y1≠0)，M(x2，y2)，由條件知點M在橢圓上可得

x22

4

+

y22

3

=1，由三角形的重心定理可得

OA

+

OP

+

OM

=

0

，及點A（-2，0），代入化簡即可得到x₂，判斷即可．

解答：解：（Ⅰ）設P（x，y），由題知F（1，0），所以以PF為直徑的圓的圓心E(

x+1

2

，

y

2

)，
則

|x+1|

2

=

1

2

|PF|=

1

2

(x-1)2+y2

，
整理得y²=4x，為所求．
（Ⅱ）不存在，理由如下：
若這樣的三角形存在，由題可設P(

y12

4

，y1)(y1≠0)，M(x2，y2)，
由條件①知

x22

4

+

y22

3

=1，
由條件②得

OA

+

OP

+

OM

=

0

，又因為點A（-2，0），
所以

y12 4 +x2-2=0 y1+y2=0

即

y22

4

+x2-2=0，
故

3

4

-

3

16

x22+x2-2=0，
解之得x₂=2或x2=

10

3

（舍），
當x₂=2時，解得P（0，0）不合題意，
所以同時滿足兩個條件的三角形不存在．

點評：本題考查了橢圓及拋物線的定義、標準方程及其性質、反證法、重心定理、向量的運算性質等基礎知識與基本技能，考查了推理能力和計算能力．