Question

對于函數(shù) 
(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性并證明；  (2)是否存在實數(shù)a使函數(shù)f (x)為奇函數(shù)？并說明理由.

Answer 1

(1)見解析 (2) 故時函數(shù)f (x)為奇函數(shù)

(1)利用單調(diào)性的定義證明：先從定義域Ｒ內(nèi)任取兩個不同的值x₁ , x₂，設(shè)設(shè)x₁ < x₂ ,然后再確定 f (x₁) – f (x₂)的符號，若是正值，是增函數(shù)，若是負值是減函數(shù)．因為含有參數(shù)b,可能要對b進行討論．
解：(1)函數(shù)f (x)的定義域是R               ……2分
證明：設(shè)x₁ < x₂； 
f (x₁) – f (x₂) = a--( a-)=
當  x₁<x₂    得 < 0
得f (x₁) – f (x₂) < 0所以f (x₁) < f (x₂)
故此時函數(shù)f (x)在R上是單調(diào)增函數(shù)；   ……6分
當x₁<x₂    得 0
得f (x₁) – f (x₂)  0所以f (x₁)  f (x₂)
故此時函數(shù)f (x)在R上是單調(diào)減函數(shù)      ……10分
注：用求導法也可證明.
(2) f (x)的定義域是R，
由   ，求得.    …11分
當時，，，
滿足條件，故時函數(shù)f (x)為奇函數(shù)                …14分