Question

【題目】如圖，在三棱錐P﹣ABC中，BC⊥平面APC，AB=2 ，AP=PC=CB=2．

（1）求證：AP⊥平面PBC；
（2）求二面角P﹣AB﹣C的大小．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵BC⊥平面APC，AC、AP平面APC，

∴BC⊥AP，BC⊥AC，

∵AB=2 ，CB=2，∴AC=2 ，

又∵AP=PC=2，∴AC2=PA2+PC2，故AP⊥PC，

∵PC∩BC=C，∴AP⊥平面PBC；

（2）解：∵BC⊥平面APC，∴平面APC⊥平面ABC，

在平面APC內(nèi)作PQ⊥AC于Q，則PQ⊥平面ABC，

過Q作QR⊥AB于R，連結(jié)PR，則∠PRQ即為二面角P﹣AB﹣C的平面角，

在RT△APC中，PQ= ，

在RT△ABC中，QR= ，

故 ，

從而二面角P﹣AB﹣C的大小為 ．

【解析】（1）通過已知條件，可得AC2=PA2+PC2 ， 進(jìn)而可得AP⊥平面PBC；（2）在平面APC內(nèi)作PQ⊥AC于Q、過Q作QR⊥AB于R，連結(jié)PR，則∠PRQ即為二面角P﹣AB﹣C的平面角，計(jì)算即可．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用直線與平面垂直的判定的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點(diǎn)：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．