Question

已知F是拋物線y ²=2Px (p>0)的焦點(diǎn)，若點(diǎn)M（2，）恰好是直線MF被拋物線所截得弦的中點(diǎn)

（1）求p的值及直線MF的方程

（2）能否在拋物線上找一點(diǎn)C ？使. 若能，求出點(diǎn)C的坐標(biāo). 若不能,請(qǐng)說明理由.

Answer 1

（1）p=2，直線 MF 的方程為y=  (x－1)（2）不存在點(diǎn)C滿足題意

解析:

(1)  (點(diǎn)差法)  設(shè)直線MF與拋物線交于A(x_{1 ,}y₁),  B(x_{2 ,} y₂), 又F（ ,0), 

則y₁²=2px₁          y₂²=2px₂     ‚                      …………2分

由‚－  得  (y₂＋y₁) (y₂－y₁)=2p(x₂－x₁)

 即 k_AB(y₂＋y₁)=2p      ƒ 

 將k_AB=k_MF= ,  y₁＋y₂=2  代人ƒ  解之有p=2

  所以 k_MF= ， 直線 MF 的方程為y=  (x－1)          …………7分

  (2)  假設(shè)存在點(diǎn)C, 由(1)知y²=4x

  設(shè)C(t², 2t),  則 ,   ,

  由于

 可知                                        …………… 9分   

  即 (t²－2)(t²—1)＋(2t－)(2t)=t⁴＋t²－2t＋2=t⁴＋(t－)²=0

  則t=0且t= ,故不存在點(diǎn)C滿足題意        …………12分