Question

已知向量

a

=(1-tanx，1)，

b

=(1+sin2x+cos2x，-3)， 記 f(x)=

a

•

b

（1）求f （x）的周期；
（2）若g(a)=f(

α

2

)-f(

α

2

+

π

4

)，則求g（a）的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用平面向量的數量積運算法則計算

a

•

b

后，得到函數f（x）的解析式，第一項第一個括號中利用同角三角函數間的基本關系切化弦進行化簡，第二個括號利用二倍角的正弦、余弦函數公式化簡，約分后再利用二倍角的余弦函數公式化為一個角的余弦函數，找出ω的值，代入周期公式T=

2π

ω

，即可求出函數的最小正周期；
（2）把x=

α

2

和x=

α

2

+

π

4

分別代入得出的函數f（x）解析式，確定出g（α）的解析式，利用兩角和與差的余弦函數公式化簡后，再根據兩角和與差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化為一個角的正弦函數，由正弦函數的值域即可得到g（α）的最小值．

解答：解：（1）f（x）=（1-tanx）（1+sin2x+cos2x）-3
=

cosx-sinx

cosx

(2cos2x+2sinxcosx)-3
=2（cos²x-sin²x）-3
=2cos2x-3，
∵ω=2，∴T=

2π

2

=π；
（2）∵g（α）=f(

α

2

)-f(

α

2

+

π

4

)=2cosα-2cos(α+

π

2

)
=2(cosα+sinα)=2

2

sin(α+

π

4

)，
∴g（α）的最小值為-2

2

．

點評：此題考查了同角三角函數間的基本關系，二倍角的正弦、余弦函數公式，兩角和與差的正弦、余弦函數公式，以及正弦函數的定義域及值域，熟練掌握公式是解本題的關鍵．