Question

如圖，橢圓＝1(a＞b＞0)的上，下兩個頂點為A，B，直線l：y＝－2，點P是橢圓上異于點A，B的任意一點，連接AP并延長交直線l于點N，連接PB并延長交直線l于點M，設AP所在的直線的斜率為k1，BP所在的直線的斜率為k2.若橢圓的離心率為，且過點A(0,1)．

(1)求k1·k2的值；

(2)求MN的最小值；

(3)隨著點P的變化，以MN為直徑的圓是否恒過定點？若過定點，求出該定點；如不過定點，請說明理由．

 

Answer 1

（1）（2）4（3）恒過定點(0，－2±2)

【解析】(1)因為e＝＝，b＝1，解得a＝2，所以橢圓C的標準方程為＋y2＝1.(2分)

設橢圓上點P(x0，y0)，有＋＝1，

所以k1·k2＝.(4分)

(2)因為M，N在直線l：y＝－2上，設M(x1，－2)，N(x2，－2)，

由方程知＋y2＝1知，A(0,1)，B(0，－1)，

所以KBM·kAN＝，(6分)

又由(1)知kAN·kBM＝k1·k2＝－，所以x1x2＝－12，(8分)

不妨設x1＜0，則x2＞0，則

MN＝|x1－x2|＝x2－x1＝x2＋≥2＝4，

所以當且僅當x2＝－x1＝2時，MN取得最小值4.(10分)

(3)設M(x1，－2)，N(x2，－2)，

則以MN為直徑的圓的方程為

(x－x1)(x－x2)＋(y＋2)2＝0，(12分)

即x2＋(y＋2)2－12－(x1＋x2)x＝0，若圓過定點，

則有x＝0，x2＋(y＋2)2－12＝0，解得x＝0，y＝－2±2，

所以，無論點P如何變化，以MN為直徑的圓恒過定點(0，－2±2)．(16分)