Question

已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿足, 且,其中.

(1) 求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

(2) 設(shè)數(shù)列滿足,是否存在正整數(shù)，使得成等比數(shù)列？若存在，求出所有的的值；若不存在，請說明理由。

(3) 令,記數(shù)列的前項(xiàng)和為,其中,證明：。

 

Answer 1

【答案】

（1） （2）存在且，

【解析】

試題分析：

（1）利用十字相乘法分解，得到關(guān)于的遞推式，證得數(shù)學(xué)為等比數(shù)列且可以知道公比，則把公比帶入式子就可以求出首項(xiàng)，進(jìn)而得到的通項(xiàng)公式.

（2）由第一問可得的通項(xiàng)公式帶入可的通項(xiàng)公式，結(jié)合成等比數(shù)列，滿足等比中項(xiàng)，得到關(guān)于m,n的等式，借助m,n都為正整數(shù)，利用等式兩邊的范圍求出n,m的范圍等到m,n的值.

（3）由（1）得，帶入得到，由于要得到錢n項(xiàng)和，故考慮把進(jìn)行分離得到 ， 進(jìn)而利用分組求和和裂項(xiàng)求和求的，觀察的單調(diào)性，可得到與都關(guān)于n單調(diào)遞減，進(jìn)而得到關(guān)于n是單調(diào)遞增的，則有，再根據(jù)的非負(fù)性，即可得到，進(jìn)而證明原式.

試題解析：

(1) 因?yàn)?/span>,即 1分

又,所以有,即所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列. 2分

由得,解得。 3分

從而，數(shù)列的通項(xiàng)公式為。 4分

(2)=，若成等比數(shù)列，則， 5分

即．由，可得， 6分

所以，解得：。 7分

又，且，所以，此時．

故當(dāng)且僅當(dāng)，.使得成等比數(shù)列。 8分

(3)

10分

∴

12分

易知遞減，∴0＜ 13分

∴，即 14分

考點(diǎn)：十字相乘法 等比數(shù)列 分組求和 裂項(xiàng)求和 不等式 單調(diào)性