Question

已知c＞0且c≠1，設p：指數函數y=（2c-1）^x在R上為減函數，q：不等式x²-（4c-1）+（4c²-1）＞0的解集為R．若p和q有且僅有一個正確，求c的取值范圍．

Answer 1

分析：由指數函數y=（2c-1）^x在R上為減函數，解得c的范圍；由不等式x²-（4c-1）+（4c²-1）＞0的解集為R，利用判別式，求出c的范圍．p和q有且僅有一個正確，由此能求出c的取值范圍．

解答：解：由指數函數y=（2c-1）^x在R上為減函數，得：0＜2c-1＜1，可得p：

1

2

＜c＜1．
由不等式x²-（4c-1）+（4c²-1）＞0的解集為R，得：（4c-1）²-4（4c²-1）＜0，解得q：c＞

5

8

，
p和q有且僅有一個正確，p真q假，可得：

1

2

＜c≤

5

8

．
q真p假，可得：c≥1．
∴c的取值范圍：（

1

2

，

5

8

]∪[1，+∞）．

點評：本題考查命題的真假判斷及其應用，是中檔題．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．