Question

（2012•陜西）觀察下列不等式：
1+

1

22

＜

3

2

，
1+

1

22

+

1

32

＜

5

3

，
1+

1

22

+

1

32

+

1

42

＜

7

4

…
照此規律，第五個不等式為

1+

1

22

+

1

32

+

1

42

+

1

52

+

1

62

＜

11

6

．

Answer 1

分析：由題設中所給的三個不等式歸納出它們的共性：左邊式子是連續正整數平方的倒數和，最后一個數的分母是不等式序號n+1的平方，右邊分式中的分子與不等式序號n的關系是2n+1，分母是不等式的序號n+1，得出第n個不等式，即可得到通式，再令n=5，即可得出第五個不等式

解答：解：由已知中的不等式
1+

1

2 2

＜

3

2

，1+

1

2 2

+

1

3 2

＜

5

3

，…
得出左邊式子是連續正整數平方的倒數和，最后一個數的分母是不等式序號n+1的平方
右邊分式中的分子與不等式序號n的關系是2n+1，分母是不等式的序號n+1，
故可以歸納出第n個不等式是 1+

1

22

+

1

32

+…+

1

(n+1)2

＜

2n+1

n+1

，（n≥2），
所以第五個不等式為1+

1

22

+

1

32

+

1

42

+

1

52

+

1

62

＜

11

6

故答案為：1+

1

22

+

1

32

+

1

42

+

1

52

+

1

62

＜

11

6

點評：本題考查歸納推理，解題的關鍵是根據所給的三個不等式得出它們的共性，由此得出通式，本題考查了歸納推理考察的典型題，具有一般性