Question

（2012•東城區二模）對于數列{a_n} （n=1，2，…，m），令b_k為a₁，a₂，…，a_k中的最大值，稱數列{b_n}為{a_n}的“創新數列”．例如數列2，1，3，7，5的創新數列為2，2，3，7，7．定義數列{C_n}：c₁，c₂，c₃，…，c_m是自然數1，2，3，…，m（m＞3）的一個排列．
（Ⅰ）當m=5時，寫出創新數列為3，4，4，5，5的所有數列{C_n}；
（Ⅱ）是否存在數列{C_n}，使它的創新數列為等差數列？若存在，求出所有的數列{C_n}，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意可得，創新數列為3，4，4，5，5的所有數列 {C_n}有兩個．
（Ⅱ）存在數列{C_n}，使它的創新數列為等差數列．設數列{C_n} 的創新數列為{ e_n}，若{ e_n}為等差數列，設其公差為d，經過檢驗，當d=0或1時，存在數列{C_n}，使它的創新數列為等差數列．

解答：解：（Ⅰ）由題意可得，創新數列為3，4，4，5，5的所有數列 {C_n}有兩個，即數列3，4，1，5，2；
或數列3，4，2，5，1．  …（4分）
（Ⅱ）存在數列{C_n}，使它的創新數列為等差數列．
設數列{C_n} 的創新數列為{ e_n}，（n=1，2，3，4…，m），
因為e_m 是 c₁，c₂，c₃，…，c_m 中的最大值，所以 e_m=m．
由題意知，e_k為 c₁，c₂，c₃，…c_k 中最大值，所以，e_k≤e_k+1，且 e_k∈{1，2，3，…，m}．
若{ e_n}為等差數列，設其公差為d，則d=e_k+1-e_k≥0 且d∈N．
當d=0 時，{ e_n}為常數列，又 e_m=m，所以數列{ e_n}為 m，m，…，m．
此時數列{C_n}是首項為m的任意一個符合條件的數列．  …（8分）
當d=1時，因為e_m=m，所以數列{ e_n} 為1，2，…，m．
此時，數列{c_n} 為1，2，3，…，m．  …（10分）
當d≥2時，因為 e_m=e₁+（m-1）d≥e₁+（m-1）2=2m-2+e₁，
又m＞3，e₁ 為正整數，所以 e_m＞m，這與 e_m=m 矛盾，所以此時{ e_n}不存在，即不存在{C_n}使得它的創新數列為公差d≥2的等差數列．…（13分）
綜上，當數列{C_n}為以m為首項的任意一個符合條件的數列，或{C_n}為數列1，2，3，…，m時，它的創新數列為等差數列．…（14分）

點評：本題主要考查創新數列的定義，等差數列的定義和性質，體現了分類討論的數學思想，屬于中檔題．