Question

①．已知函數f（t）=|t+1|-|t-3|．則f（t）＞2的解為

t＞2

②．在直角坐標系中，直線l的參數方程為

x=1+ 4 5 t y=-1- 3 5 t

（t為參數），若以O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，則曲線C的極坐標方程為ρ=

2

cos(θ+

π

4

)，則直線l被曲線C所截得的弦長為

7

5

．

Answer 1

分析：①通過分類討論，將f（t）中的絕對值符號去掉，解不等式組即可；
②將直線l的參數方程與圓的極坐標方程轉化為普通方程，由弦長公式即可求得直線l被曲線C所截得的弦長．

解答：解：①∵f（t）=|t+1|-|t-3|=

-4，t≤-1 2t-2，-1＜t＜3 4，t≥3

，
若-1＜t＜3，f（t）＞2?2t-2＞2?t＞2，
∴2＜t＜3；
若t≥3，f（t）=4＞2恒成立，
∴t≥3，
綜上所述，f（t）＞2的解為t＞2；
②由

x=1+ 4 5 t y=-1- 3 5 t

得：3x+4y+1=0，
又曲線C的極坐標方程為ρ=

2

cos（θ+

π

4

）=

2

（

2

2

cosθ-

2

2

sinθ）=cosθ-sinθ，
∴ρ²=ρcosθ-ρsinθ，即x²+y²=x-y．
∴(x-

1

2

)2+(y+

1

2

)2=

1

2

．曲線C是以（

1

2

，-

1

2

）為圓心，

2

2

為半徑的圓．
∵圓心（

1

2

，-

1

2

）到直線l：3x+4y+1=0的距離d=

|3× 1 2 +4×(- 1 2 )+1|

5

=

1

10

＜

2

2

=r，
設直線l被曲線C所截得的弦長為L，則r²=d²+(

L

2

)2，即

1

4

L²=

1

2

-

1

100

=

49

100

，
∴L=

7

5

．
故答案為：t＞2；

7

5

．

點評：本題考查絕對值不等式的解法，考查簡單曲線的極坐標方程與直線的參數方程，考查轉化思想與運算能力，屬于中檔題．