Question

已知函數f（x）=alnx-ax-3（a∈R）．
（1）若a=-1，求函數f（x）的單調區間并比較f（x）與f（1）的大小關系；
（2）若函數y=f（x）的圖象在點（2，f（2））處的切線的傾斜角為45°，對于任意的t∈[1，2]，函數g（x）=x³+x²[f′（x）+]在區間（t，3）上總不是單調函數，求m的取值范圍；
（3）若n≥2，n∈N⁺，試猜想××與的大小關系，并證明你的結論．

Answer 1

解：（1）當a=-1時，f（x）=-lnx+x-3，f′（x）=（x＞0）----------（1分）
令f′（x）＞0，解得x∈[1，+∞）；令f′（x）＜0，解得x∈（0，1]
所以，f（x）的單調增區間為[1，+∞）；減區間為（0，1]-----------------（3分）
所以f（x）_min=f（1），所以f（x）≥f（1）；-----------------------（4分）
（2）∵f′（x）=
∴f′（2）=-得a=-2，∴f（x）=-2lnx+2x-3
∴g（x）=x³+（+2）x²-2x，
∴g′（x）=3x²+（m+4）x-2（6分）
∵g（x）在區間（t，3）上總不是單調函數，且g′（0）=-2
∴（8分）
由題意知：對于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，
所以有：∴-＜m＜-9（10分）
（3）猜想：××＜（n≥2，n∈N^*）-------------（11分）
證明如下：由（1）可知
當x∈（1，+∞）時，f（x）＞f（1），即-lnx+x-1＞0，
∴lnx＜x-1對一切x∈（1，+∞）成立，（12分）
∵n≥2，n∈N^*，則有0＜lnn＜n-1，
∴0＜＜-----------（13分）
∴××＜=----------（14分）
分析：（1）利用導數，可得函數的單調區間；
（2）點（2，f（2））處的切線的傾斜角為45°，即切線斜率為1，即f'（2）=1，可求a值，代入得g（x）的解析式，由t∈[1，2]，且g（x）在區間（t，3）上總不是單調函數得不等式組，從而可求m的范圍；
（3）利用前面的結論構造函數，利用函數的單調性，可得0＜＜，從而可得結論．
點評：本題考查利用函數的導數來求函數的單調區間，考查函數導數的幾何意義的考查，屬于中檔題．