Question

（09年山東實(shí)驗(yàn)中學(xué)診斷三理）（13分）已知橢圓的上、下焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)為坐標(biāo)平面的動(dòng)點(diǎn)，滿(mǎn)足

（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方方程；

（2）過(guò)點(diǎn)作曲線(xiàn)的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為，求直線(xiàn)的方程；

（3）在直線(xiàn)上是否存在點(diǎn)，過(guò)該點(diǎn)的坐標(biāo)：若不存在。試說(shuō)明理由

Answer 1

解析：（1）因?yàn)?IMG height=19 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090429/20090429150605002.gif' width=48>為橢圓的上、下焦點(diǎn)，所以設(shè)。

所以 

因?yàn)?nbsp; 

所以，整理可得

所以所求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為

（2）（法一）設(shè)過(guò)點(diǎn)所作曲線(xiàn)的切線(xiàn)的斜率為，則切線(xiàn)方程為

由 可得：

，所以或

過(guò)點(diǎn)所作曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程為和

由和可分別解得：和

所以直線(xiàn)的方程的方程為：

（法二）設(shè)過(guò)點(diǎn)所作曲線(xiàn)的兩切線(xiàn)的切點(diǎn)為，

   則   記  則，

則兩條切線(xiàn)的方程為

即

和

即：

因?yàn)閮蓷l切線(xiàn)均經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以且

所以  直線(xiàn)的方程的方程為：

（3）若存在，不妨設(shè)其坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)所作曲線(xiàn)的切線(xiàn)斜率為，

則切線(xiàn)方程為，即

由可得：

因?yàn)橹本�(xiàn)和拋物線(xiàn)相切，所以

設(shè)兩條切線(xiàn)的斜率分別為，則

因?yàn)?IMG height=25 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090429/20090429150606048.gif' width=152>   所以

所以  兩條切線(xiàn)垂直  所以所以

所以   在直線(xiàn)上是存在點(diǎn)滿(mǎn)足題意。